2016年全国高中数学联赛加试T1解答

2016年全国高中数学联赛加试T1解答

加试T1为不等式。
  设实数 a 1 , a 2 , … , a 2016 a_1,a_2,…,a_{2016} a1,a2,,a2016满足 9 a i > 11 a i + 1 2 ( i = 1 , 2 , … , 2015 ) 9a_i>11a^2_{i+1}(i =1,2,…,2015) 9ai11ai+12(i=1,2,,2015).
  求 ( a 1 − a 2 2 ) ( a 2 − a 3 2 ) … ( a 2015 − a 2016 2 ) ( a 2016 − a 1 2 ) (a_1-a^2_2)(a_2-a^2_3)…(a_{2015}-a^2_{2016})(a_{2016}-a^2_1) (a1a22)(a2a32)(a2015a20162)(a2016a12)的最大值.


本题的不等式不等号肯定可以取到,而题目里的条件不等号不能取到,说明本题的条件是用于判断正负号+做完后验证符合条件的。只能直接从题目条件入手,答案却异常简单,用基本不等式即可。


除了最后一项每一项都是正的,取到最大值时,最后一项肯定为正。
   2016 原 式 1 2016 ≤ ( ∑ ( a i − a i 2 ) ) ≤ 2016 ∗ 1 4 2016原式^{1\over 2016} \le (\sum(a_i-a_i^2))\le 2016*{1 \over 4} 201620161((aiai2))201641
  所以最大值= 1 4 2016 1\over 4^{2016} 420161,等号在 1 2 {1\over 2} 21取到,符合条件。

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